Los hijos del cielo (Urano) y de la tierra (Gea) son los Titanes; dioses que gobernaron la tierra durante la edad de oro y, ciertamente, para el conocimiento y la cultura, los siglos VIII al X, son la continuación de la edad de oro vivida, primero enla Grecia jónica, y luego en Alejandría. Y, como hijo delconocimiento y la cultura (cielo y tierra), la historia de MuhammadIbn Musa-Al-Khwarizmi o Al-Khwarizmipara los amigos (1),demuestra que fue todo un TITÁN de la historia de la ciencia.

Al-Khwarizmi
nació alrededor del año 780. Existen discrepancias en cuanto a su
lugar de nacimiento. La mayor parte de historiadores piensan que era
oriundo de la una región de Kazakstán llamada en aquella época
Khwarizm. Otros
historiadores, minoritarios en número, piensan que es descendiente
de antiguos pobladores de esta región de Kazakstán que emigraron a
Bagdad. A título informativo deciros que, en el 762 Bagdad se
convirtió en la capital del mundo árabe, sustituyendo a la anterior
capital, Damasco. Es un antes y un después en la organización
social del mundo musulmán. Hasta esa fecha gobernaban los
descendientes de Mahoma: los Omeya (Califato Omeya) y la capital
estaba en Damasco y, tras una serie de guerras intestinas, los Omeya
pierden el poder en favor de los Abbásidas, descendientes de Abbas
ibn Abd al-Muttalib (Califato
Abasí), con capital en Bagdad. Los Abbásidas resultaron tener un
espíritu humanista que no tuvieron los Omeya. De hecho, el quinto
califa abasí, Al-Mamun
creó,
a partir del 809, la institución que vendría a sustituir a la
biblioteca de Alejandría en la creación y custodia del
conocimiento: La
Casa de la Sabiduría de
Bagdad.

Volvemos
al nacimiento de Al-Khwarizmi. La
región de Khwarizm, fue
conquistada por el Califato Omeya en el año 712 y, como sostienen
historiadores como G.
Toomer (1970-1990),
la cultura islámica no era totalizante y, por tanto, mucha población
autóctona solamente fingía convertirse al Islam. Además, según el
mismo historiador, si Al-Khwarizmi proviniese de una familia de de
intelectuales, como él mismo postula, probablemente pertenecería a
una de las culturas que más proporcionaba intelectuales (a falta de
que se desarrollará la labor de la Casa de la Sabiduría)
: Iraní, Siría o Judía.

Esta riqueza
cultural en el estrato intelectual de la sociedad islámica, y el
“efecto llamada” que producirá la Casa de la
Sabiduría, será una de las
razones del florecimiento del conocimiento y la cultura en el Islam
durante los siglos posteriores. El califato Abasí alcanza su
esplendor entre el siglo VIII y el X, desintegrándose en el siglo
XI. Sea como fuere, y naciera donde naciera Al-Khwarizmi, se tiene
constancia de que después del 809, cuando el Califato Abasí tuvo su
máxima extensión (incluida la India), el propio Al-Khwarizmi entró
a formar parte de La
Casa de la Sabiduría. Fue
uno de los eruditos de este centro y se dedicó al estudio de
manuscritos griegos sobre álgebra, geometría y astronomía, y a
crear las bases de lo que hoy conocemos como álgebra.

De hecho, la
palabra Álgebra (al-jabr,
o restaurar, recomponer) proviene
su obra más importante, “Hisab al-Jabr w’al-muqabala”,
o “el libro de restaurar e igualar”. En esta obra Al-Khwarizmi
desarrolla métodos para hallar valores desconocidos; propone métodos
para resolver lo que actualmente llamamos ecuaciones, es decir,
propuso “una secuencia o conjunto ordenado de operaciones
o pasos que permite hallar la solución de un problema; una secuencia
codificada de instrucciones para manipulación de símbolos”
(Odoñez y colaboradores, 2003). En una palabra que nos resultará
más familiar: Algoritmo.
Al-Khwarizmi inventó el algoritmo como método de resolución de
problemas y, esta forma de afrontarlos, se comenzó a llamar con su
nombre: de Al-Khwarizmi a Algoritmo. ¿Qué algoritmo inventó
Al-Khwarizmi? El más célebre se conoce como “Método
de los cuadrados o completar los cuadrados”.
Una aclaración. Nunca llegó a utilizar un sistema alfanumérico
para representar los problemas. Esto se hizo a posteriori
a partir de sus demostraciones. Él, primeramente, explicaba la
solución del problema de forma verbal y, posteriormente, demostraba
que tenía razón resolviéndolo geométricamente por el método de
los cuadrados. Él mismo explica el algoritmo en la obra que hemos
citado anteriormente: ante el siguiente problema, x²+10x=39,
la solución que proponía era la siguiente (prestar atención a cómo
llama a cada término de la ecuación):

“un cuadrado y diez raíces son iguales
a 39 unidades. Entonces, la pregunta en este tipo de ecuación es
aproximadamente así: cuál es el cuadrado que, combinado con diez de
sus raíces, dará una suma total de 39. La manera de resolver este
tipo de ecuación es tomar la mitad de las raíces mencionadas.
Ahora, las raíces en el problema que tenemos ante nosotros son diez.
Por lo tanto, tomamos 5 que multiplicadas por sí mismas dan 25, una
cantidad que agregarás a 39 dando 64. Habiendo extraído la raíz
cuadrada de esto, que es 8, sustraemos de allí la mitad de las
raíces, 5, resultando 3. Por lo tanto el número tres representa una
raíz de este cuadrado.”

Expliquemos un poco mejor esto. En la Figura 1
tenemos resumido el método de los cuadrados que acompaña, en el
libro del al-jabr, al
problema anterior. Veamos: algo multiplicado por si mismo es un
cuadrado. Por eso, el mejor ejemplo de un cuadrado es el propio
cuadrado, cuya área es su lado al cuadrado. Si desconocemos el valor
de ese lado (podemos llamarlo “x”) su cuadrado serça, entonces,
x²
(recordad: Al-Khwarizmi no lo llamaba así, simplemente lo llama
cuadrado). La raíz de este cuadrado es su lado (recordad que la
operación inversa a elevar al cuadrado es la raíz cuadrada) y, por
tanto, cuando Al-Khwarizmi habla de “un cuadrado y diez raíces”
está hablando de  x²+10x,
y eso, según el problema que nos plantea, es igual a 39 unidades
(esta es la primera parte de la figura 1). El siguiente paso en el
algoritmo de resolución es dividir entre dos las 10 raíces (10x)
obteniendo 2 veces 5 raíces, que se sumarán al cuadrado (segunda
parte de la figura 1): geométricamente significa que el rectángulo
10x es 10 veces más largo que alto y su altura es “x”. Por eso
podemos “sumarlo” al cuadrado; tiene una altura igual a la del
lado del cuadrado (x). Todo ello sigue siendo igual a 39 unidades.
Para finalizar, Al-Khwarizmi dice que “tomamos
5 [raíces]
que
multiplicadas por sí mismas dan 25, una cantidad que agregarás a 39
dando 64”.
Si somos perspicaces podemos darnos cuenta que, en el espacio vacío
de la derecha, se ha generado un nuevo cuadrado en el cual, esta vez
si, conocemos su lado (5) y, por tanto, también conocemos su área
(25 unidades). También sabemos que la suma de las áreas del
rectángulo de 10 raíces y el cuadrado es de 39 unidades. Por tanto
podemos obtener el área total del “supercuadrado” que hemos
generado. En este caso serían 64 unidades (tercera parte de la
figura 1). Y ahora, para obtener el valor desconocido, Al-Khwarizmi
nos propone desandar lo caminado: ahora conocemos el área total del
“supercuadrado” (64) y, haciendo su raíz, obtenemos el valor de
su lado (8). Ahora sabemos que ese lado del “supercuadrado” es 8
y que es igual a x+5. Por tanto, el valor desconocido es 3.

Figura 1.
Demostración geométrica que Al-Khwarizmi incorpora en su obra sobre
álgebra para la resolución de un problema con valores desconocidos.
Es un ejemplo notable del concepto de algoritmo.

Con esta
explicación han quedado 2 cosas claras: I) Al-Khwarizmi fue el
fundador del álgebra
y II) fue también el fundador de un método para la resolución de
problemas: el algoritmo.

Figura 2. Los
símbolos hindúes que Al-Khwarizmi convirtió en nuestros sistema
numérico actual y la razón por la cual los ordeno de esa manera.

Pero Al-Khwarizmi
no se quedó ahí. También escribió una obra sobre números hindúes
de la cual solo se conserva la versión latina traducida titulada
“Algoritmi de numero indorum”.
Si, esta es quizá una obra de mayor importancia que la anterior
porque, los números hindúes que Al-Khwarizmi estudia, son nuestros
actuales números. A
diferencia del sistema de numeración posicional griego y romano (es
decir, un sistema numeral en el cual la posición del símbolo
determina su valor), con estos números hindúes se podría crear un
sistema en el cual, los símbolos ordenados de mayor a menor (figura
2), el valor es intrínseco al número y solo indica cuanto hay de lo
que se quiere cuantificar (manzanas, peras, unidades o centenas).
Este sistema, decía Al-Khwarizmi, permitía hacer operaciones
algebraicas más fácilmente. Solamente quedaba una cosa por hacer
¿Qué sistema de referencia tomamos en este nuevo sistema numérico?
Al-Khwarizmi tomó el cero hindú; el símbolo que ellos usaban para
designar la ausencia de algo y que parece tener su origen en la
civilización jemer.
Concretamente se han localizado inscripciones en el tempo camboyano
de Angkor Wat datadas en el siglo VII (Geoges Ifah, 1998).

Al-Khwarizmi no solo fundó el álgebra y creó
los algoritmos como métodos de resolución de problemas, sino que
creó nuestro actual sistema numérico y, su punto de
referencia, el cero.

Como
afirma R. Rashed,
Al-Khwarizmi es “el
mayor matemático de la época; y si se tienen todas las
circunstancias en cuenta, uno de los más grandes de todos los
tiempos”.

NOTAS

1. También veréis escrito el nombre de
   Al-Khwarizmi como Al-Juarismi o Al-Jwarismi. Esto es fruto del intento
   de reproducir el sonido que debía tener su nombre en árabe. Es
   similar al caso del nombre árabe de la ciudad de Valencia, Balansia
   o Balansiya, ambas denominaciones correctas.

REFERENCIAS

• Ifrah, Geoges (1998). Historia universal de las
  cifras. Espasa Calpe S.A.
• Ordoñez, Javier et al. (2003). Historia de la
  Ciencia. Espasa Calpe S.A.
• Toomer,
  G. (1970–1990). Al-Khwārizmī, Abu Ja’far Muhammad ibn Mūsā. In
  C. C. Gillispie (Ed.) Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7 (pp.
  358–365). Charles Scribner’s Sons. New York.